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A · Función real de variable real

Definición:

Sea `A in RR`, la correspondencia `f:A -> RR` es una función si
a cada `x in A`  le asigna una única imagen `f(x) in RR`

 

Se llama dominio: `Dom(f)={x in A // sf"existe"  f(x)}={x in A // f(x) in RR}`

Se llama imagen: `Im(f)={y in RR //  y=f(x)  sf"para algún"  x in A}`

Propiedades de monotonía:

Sea `f:A -> RR` una función real de variable real. Sea `B sub A`

  • La función `f` es creciente en `B` si
      `x_1<x_2 => f(x_1)<=f(x_2), AA x_1,x_2 in B`
  • La función `f` es estrictamente creciente en `B` si
      `x_1<x_2 => f(x_1)<f(x_2), AA x_1,x_2 in B`
  • La función `f` es decreciente en `B` si
      `x_1<x_2 => f(x_1)>=f(x_2), AA x_1,x_2 in B`
  • La función `f` es estrictamente decreciente en `B` si
      `x_1<x_2 => f(x_1)>f(x_2), AA x_1,x_2 in B`

Se dice que `f` es inyectiva si:  `x_1 != x_2  =>  f(x_1) != f(x_2)`

Simetrías:
  • Se dice que una función  `f`  es par si  `f(x)=f(-x), AAx in Dom(f)`
  • Se dice que una función  `f`  es impar si  `f(x)=-f(-x), AAx in Dom(f)`
Periodicidad:

Sea  `f:RR  ->  RR`. Se dice que  `f`  es periódica, con periodo T, si
`f(x)=f(x+T), AAx in RR`

Ejemplo típico de funciones periódicas son las funciones trigonométricas. Si un función es periódica de periodo T, será suficiente con representarla en  `[0,T]`, ya que el resto de la función se repite.

Composición:

Sean  `f:A sub RR  ->  RR`  y  `g:B sub RR  ->  RR,` con `Im(f) sub B`.

La función compuesta  `g@f`  que se lee "`f  compuesta  con  g`" es la función

`g @ f: A sub RR  ->  RR`

`x in A  ->  (g @ f)(x) = f(f(x)`

Función inversa:

Sea  `f:A sub RR  ->  RR` una función inyectiva.

Existe una única función  `h: Im(f)  ->  RR`  tal que  `h(f(x))=x, AA x in A`

Esta función se denomina fución inversa de  `f`  y se suele escribir así:  `f^{-1}`

Normalmente para calcular una función inversa se despeja  `x`  en función de  `y`  y se intercambian los papeles.

Valor absoluto:

Si  `x`  es un número real, se define su valor absoluto como sigue:

Sea  `x in RR,  |x| = { (+x,si  x>=0), (-x,si  x<0) :}`

Propiedades:

  • `|x|>=0`  para todo  `x in RR`. Además,  `|x|=0  <=> x=0`
  • `|x+y|<=|x|+|y|`  para cualquier  `x,y in RR`
  • `|xy|=|x|·|y|`
  • `Si  N>0,  |x|<=N  <=>  -N<=x<=+N`

 

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