G · Estudio de funciones homográficas [Construcción]

Publicado en 02.- Funciones

La forma de una función racional es una expresión racional del tipo: `f(x)={p(x)}/{q(x)}` siendo `p(x)` y `q(x)` dos polinomios tales que `q(x)` es de grado mayor o igual que 1 y `q(x)!=0`.

Ejemplo de función racional: `f:RR-{-2,2} -> RR // f(x)={x^3 -2x^2+7}/{x^2-4}`

Casos particulares de funciones racionales:

Cuando el numerador y el denominador tienen raíces comunes, pueden factorizarse y simplificarse, obteniendo una expresión más sencilla. Sin embargo, el dominio de la función sigue siendo el de la función dada.
por ejemplo: `f: RR - {3} -> RR // f(x)={x^2-9}/{x-3}={(x+3)(x-3)}/{(x-3)}=x+3`. Esta función tiene por gráfica una recta excluido el punto `(3,6)`
FUNCIÓN HOMOGRÁFICA: es un tipo de función racional en la que el numerador y el denominador son polinomios de primer grado.

Su expresión analítica es: `f(x)=(ax+b)/(cx+d)` o realizando la división `f(x)=k/(x+m)+n` (forma canónica).
cuando `AA a,b,c,d in RR` y además `c!=0` (sino sería lineal) y `ad!=bc`
Gráfica: la gráfica de una función homográfica es una curva llamada hipérbola equilátera (compuesta de dos partes situadas en el 1^er y 3^er cuadrante o en el 2^do y 4^to cuadrante, dependiendo del signo del parámetro `k`.
Asíntota Vertical: en general, diremos que la recta de ecuación `x=-d/c` es una asíntota vertical de `f` cuando al tomar valores de `x` cada vez más cercanos a `-d/c`, tanto por la derecha como por la izquierda, los valores de la función son cada vez mayores (en valor absoluto).
Asíntota Horizontal: en general, diremos que la recta de ecuación `y=a/c` es una asíntota horizontal de `f` cuando al tomar valores de `x` cada vez mayores/pequeños `(+- oo)` el valor de la función se acerca a `a/c`, tanto por arriba como por abajo.
Dominio y rango: `Dom f = RR - {AV}` ; `Im f = RR - {AH}`
Puntos de corte con los ejes: eje-X: `f(x)=0` ; eje-Y: `f(0)`
Simetría: respecto del centro de la Hipérbola (intersección de las asíntotas)
Monotonía: siempre Creciente o decreciente por intervalos
Discontinuidad: en `x=-d/c`
Signo: positiva en `f(x)>0` ; negativa en `f(x)<0`

En la siguiente construcción, realizada con geogebra, podemos:

Variar los valores de `k` , `m`, y `n`

Mostrar la tabla de valores, comenzando por `x_1`

Mostrar puntos simétricos de `P` , `Q` y `B` (éste puede moverse)

Mostrar las coordenadas de los puntos sobre la gráfica

Localizar los puntos de corte con los ejes

El centro de simetría O

Visualizar los intervalos donde `f` es creciente o decreciente

Modificar el intervalo de definición moviendo las flechas naranjas